ola meninos!!!!!!!

como ja sabem os meus alunos sao muito curiosos!!!!!!

e fazem cada pergunta que nem eu sei responder mas confesso que sou como os meus alunos (curiosa)e quando nao sei responder pesquiso e resgisto em resumos o que estudei.como diz um velho ditado"pequeno ou novo e sempre estudioso".

Número primo

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo^[1].
Nos inteiros, $p \in \mathbb{Z}$ é um primo se ele tem exatamente quatro divisores: $\pm 1$ e $\pm p$ . Uma definição um pouco mais técnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. Por definição,

0

1

- 1

não são números primos.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Os 100 primeiros números primos positivos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541
Exemplos de decomposições:

$4 = 2 \times 2$
$6 = 2 \times 3$
$8 = 2 \times 2 \times 2$
$9 = 3 \times 3$
$10 = 2 \times 5$
$472.342.734.872.390.487 = 3 \times 7 \times 827 \times 978.491 \times 27.795.571$

[editar] Os átomos da aritmética

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.
Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número

N

era primo: calcule

2

elevado a potência

N

e divida-o por

N

, se o resto for

2

, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular

2 N

em um relógio com

N

horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até

340

, mas falha para $341 = 11 \times 31$ . Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como

2341

[editar] Teoremas dos números primos

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas.

[editar] Matemática elementar

Alguns resultados que podem ser demonstrados com ferramentas elementares (para ver as demonstrações, consulte Vianna^[1]):

Se um número primo divide um produto, mas não divide um dos fatores, então ele divide o outro fator
Se um número primo divide a potência de outro número, então ele divide este número
Se um número é múltiplo, então ele tem pelo menos um fator primo

[editar] Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural $n$ , qual é a proporção de números primos entre os números menores que $n$ ?

A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam $p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n$ os primos. Seja

P

o número tal que

P

= $\prod_{i=1}^n p_i + 1,$ onde $\prod$ denota o produtório.

P

é um número primo, é necessariamente diferente dos primos $p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n$ , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.

Por outro lado, se

P

é composto, existe um número primo

q

tal que

q

é divisor de

P

Mas obviamente $q \ne\ p_1,\; p_2,\; ...,\; p_n.$ Logo existe um novo número primo.

Há um novo número primo, seja

P

primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.

Uma outra prova envolve considerar um número inteiro

n > 1

. Temos

n + 1

que, necessariamente, é coprimo de

n

(números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto

n

e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim,

n (n + 1)

tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.

Tomemos o sucessor deste, que representamos como

n (n + 1) + 1

. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a

n (n + 1)

. Ao multiplicar os dois números, temos

[n (n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]

. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente $\frac{n}{\ln (n)}$ , onde $ln$ é o logaritmo natural.

Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.

O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!

Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a $\sqrt{k}$ .

Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

[editar] Grupos e sequências de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma

4 n + 1

, tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

5 = 1 2 + 2 2,

13 = 2 2 + 3 2,

17 = 1 2 + 4 2,

29 = 2 2 + 5 2,

37 = 1 2 + 6 2,

41 = 4 2 + 5 2 .

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

$(4 n + 1)$ - que podem sempre ser escritos na forma ( $x 2 + y 2$ );
e $(4 n - 1)$ - nunca podem ser escritos na forma ( $x 2 + y 2$ ).

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de cento e onze^[2] números compostos e não existem^[3] primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões^{[carece de fontes?]} de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos^{[carece de fontes?]}. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo

x 2 - x + 41

fornece primos quando $x=0,\ 1,\ 2,\ ..., \ 40$ ^[4]^[5]. Veja que para x = 41, a fórmula resulta em

412

que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de

x

, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em

x

com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de

x

.
Não se sabe se há uma expressão polinomial

a x 2 + b c + c

com $a \ne 0$ que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se

a

2 b

c

não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

a x 2 + 2 b x y + c y 2

representa infinitos primos, quando

x

y

assumem valores positivos inteiros.
Fermat pensou que a fórmula $2^{2^n} + 1$ forneceria números primos para $n = 0,\ 1,\ 2,\ ...$ . Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por

F n

. Os cinco primeiros números são:

$F_0 = 3,\; F_1 = 5,\; F_2 = 17,\; F_3 = 257\; e \;F_4 = 65.537$ ,

sendo todos primos.

[editar] Maior número primo conhecido

Atualmente o maior número primo encontrado é

2 43.112.609 - 1

descoberto no dia 23 de agosto de 2008, num projeto de computação distribuída pela Internet, o GIMPS, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo

2 p - 1

, em que

p

é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.

[editar] Aproximações para o n-ésimo primo

Como consequência do teorema do número primo , uma expressão assintótica para o n-ésimo primo p_n é:

p n ˜ n ln n .

Uma aproximação melhor é:

${ p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac{n}{\ln n} \left(\ln \ln n - 2 \right) - \frac{n\ln\ln n}{2(\ln n)^2}\left(\ln\ln n-6\right) + O\left( \frac {n} {(\ln n)^2}\right).}$ ^[6]

O teorema de Rosser mostra que p_n é maior que n ln n. É possível melhorar esta aproximação com os limites ^[7]^[8]:

$n \ln n + n(\ln\ln n - 1) < p_n < n \ln n + n \ln \ln n \quad\mbox{for } n \ge 6.$

[editar] Ver também

Ora, todo número diferente de zero possui infinitos múltiplos, pois basta multiplicá-lo por qualquer número natural.

Múltiplos de 2 = 0 (2 x 0), 2 (2 x 1), 4 (2 x 2), 6 (2 x 3)...100 (2 x 50)

- Como posso ter certeza que só o 15 que é múltiplo de 5?

Uma forma de saber se um número é múltiplo de outro é fazer a divisão entre eles. Se o resto for zero, então é múltiplo. Assim:

a) 4 é múltiplo de 2 porque 4 ÷ 2 = 2 e o resto = 0.
b) 72 é múltiplo de 3 porque 72 ÷ 3 = 24 e o resto = 0.
c) 200 é múltiplo de 4 porque 200 ÷ 4 = 50 e o resto = 0.
d) 125 é múltiplo de 5 porque 125 ÷ 5 = 25 e o resto = 0.

matematica divertida

sábado, 8 de janeiro de 2011

o que e um multiplo?e um numero natural?