sábado, 19 de fevereiro de 2011

ai aiai meus alunos e seguidores nao me respondem?
se nao me responderem eu nao escrevo mais!!!!!

dou-vos mais uma opurtunidade!!

a mina querida nina depois das aulas perguntou-me o que era uma equaçao.
e eu nao exitei em
Em matematica, uma equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas. ^[1]
São exemplos de equações simples as seguintes igualdades:

x + 8 = 15

10 - m = 4

3 y = 18

Nesses exemplos, as letras

x

m

y

são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir.
A equação

x + 8 = 15

pode ser interpretada como uma pergunta: "qual o número que somado com 8 dá 15?". Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o valor de

x

nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado

x = 7

.
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. As equações mostradas nos exemplos acima podem ser interpretadas e resolvidas facilmente: o número que subtraído de 10 é igual a 4 é

m = 6

; o número que, ao ser multiplicado por 3, resulta em 18 é

y = 6

.
Uma solução da equação também é chamada raiz da equação.
Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é, afirmações que são verdadeiras para todos os valores de

x

, como nos exemplos:

x (x + 5) = x 2 + 5 x

sen 2 x + cos 2 x = 1

Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as incógnitas. Por exemplo, considere a equação

x 2 - 3 x = 0.

Ela é satisfeita para exatamente dois valores de

x

, a saber,

x = 0

x = 3

.
Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por exemplo,

(x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1

é uma identidade, mas

(x + 1) 2 = 2 x 2 + x + 1

é uma equação cujas soluções são

x = 0

x = 1

.
Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é trocado pelo sinal $\equiv$ .

Índice

[esconder]

Ideia básica para se resolver equações

Há muitas formas de se resolver equações mas a principal ideia, quando as incógnitas são procuradas nos conjuntos dos números inteiros, racionais, reais ou mesmo complexos é o fato que o produto de números só é igual a zero se um dos fatores for igual a zero.
Assim, para se resolver a equação

3 x 2 = 6 x

, o método mais simples e eficiente é escrever:

3 x 2 = 6 x

é equivalente a

3 x 2 - 6 x = 0

, que, por sua vez, pode ser escrito na forma

3 x (x - 2) = 0

. Como o produto só pode ser 0 se um dos fatores for igual a 0, concluímos que ou

3 x = 0

x - 2 = 0

Logo, as soluções da equação são

x = 0

x = 2

.
O mesmo método pode ser aplicado a equações mais difíceis, com a mesma eficiência. Portanto, para se saber resolver equações é importante, antes de mais nada, saber fatorar expressões algébricas.

[ Equações equivalentes

Diz-se que duas equações são equivalentes se elas têm o mesmo conjunto-solução. Por exemplo, considere as equações

(i)

x 2 - 2 x = 0

(ii)

x - 2 = 0

(iii)

5 x - 10 = 0

A equação (i) admite as soluções reais

x = 0

x = 2

. As equações (ii) e (iii) admitem apenas a solução real

x = 2

. Assim sendo, as equações (i) e (ii) não são equivalentes, enquanto que as equações (ii) e (iii) são equivalentes. Escrevemos

$x-2 = 0 \iff 5x - 10 = 0$ .

Nem sempre é fácil encontrar as soluções (todas) de uma equação dada. O método de resolução mais elementar é a troca da equação dada por outra equivalente que seja mais simples.

Como transformar uma equação em outra equivalente

Dada uma equação, as seguintes operações podem ser efetuadas sem que se modifique o conjunto-solução:

somar um mesmo número real em cada lado da igualdade.
multiplicar cada lado da igualdade por um mesmo número não nulo.

Vejamos um exemplo. Dada a equação

$3x+5 = \frac{34}{5}$

podemos somar -5 a ambos os lados da igualdade e obter:

$(3x+5) + (-5) = \frac{34}{5} + (-5)$

Usando propriedades da adição, obtemos

$3x+(5-5) = \frac{34-25}{5}$

ou, equivalentemente,

$3x = \frac{9}{5}$

Vamos agora dividir cada lado da igualdade por 3 (isto é, multiplicar por $\frac{1}{3}$ ) e chegar à solução procurada:

$x = \frac{3}{5}$

Observe que a ordem com que efetuamos as operações é indiferente: Poderíamos ter começado multiplicando os dois lados da equação por 5:

$3x+5 = \frac{34}{5} \iff 5(3x+5) = 5 \cdot \frac{34}{5} \iff$

15 x + 25 = 34

Subtraindo 25 de cada lado, obtemos outra equação ainda equivalente à primeira:

$15x+25 - 25 = 34-25 \iff 15x = 9$

Finalmente, dividimos cada lado por 15:

$x = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Há outras transformações que podem ser feitas, mas que exigem um conhecimento mais profundo de funções e seus efeitos. Dada uma equação, pode-se aplicar uma função a ambos os lados, mas precisamos tomar cuidado pois o conjunto-solução pode ser alterado. Um exemplo simples é o seguinte. A equação

x 2 + 2 x + 1 = 9

pode ser vista como

(x + 1) 2 = 9

que tem soluções

x + 1 = 3

x + 1 = - 3

, ou seja,

x = 2

x = - 4

.
Poderíamos também aplicar a função raiz quadrada a ambos os lados da equação

(x + 1) 2 = 9

$\sqrt{(x+1)^2} = \sqrt{9}$

que equivale a

| x + 1 | = 3

ou, seja,

x + 1 = 3

x + 1 = - 3

.
Uma situação que exige mais cuidado é quando, para resolvermos uma equação algébrica, elevamos cada lado da equação ao quadrado. Ao fazermos isso, perdemos a informação sobre o sinal (positivo ou negativo) de cada membro da equação e, por isso, iremos obter outra equação, que não é equivalente à original: ela terá mais soluções. Logo, quando usamos essa técnica temos que, no final, voltar à equação original e verificar quais soluções da equação modificada são também soluções da equação original. Vejamos um exemplo: é dada a equação

$\sqrt{x+2} = x$

Elevando-se os dois lados da equação ao quadrado, tem-se:

$x+2 = x^2 \iff x^2 - x - 2 = 0$

As soluções desta última equação são

x = 2

x = - 1

. Entretanto, testando-se na equação original tem-se, para

x = 2

$\sqrt{2+2} = 2$ , que é verdadeira. Já para

x = - 1

, a igualdade é falsa, já que

$\sqrt{(-1)+2} = 1 \neq (-1)$ . Logo, a equação $\sqrt{x+2} = x$ admite apenas uma solução, a saber,

x = 2

Equações com mais de uma variável

Uma equação pode ter mais de uma incógnita, como por exemplo, a equação

x + y = 7

Se quisermos soluções apenas formadas por números inteiros positivos, encontramos exatamente oito soluções, a saber, os pares

(0,7),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(7,0)

. Se permitirmos números inteiros, encontraremos infinitas soluções. Além das soluções encontradas anteriormente, os pares

( - 1,8),(10, - 3),(1007, - 1000)

são alguns exemplos neste caso. Se admitirmos soluções formadas por números reais, o conjunto das soluções da equação aumenta consideravelmente: o conjunto de todos os pares ordenados que satisfazem à equação pode ser representado no plano cartesiano por uma reta, mais precisamente, a reta determinada pelos pontos de coordenadas (0,7) e (7, 0).
O exemplo acima deve ajudar a compreender a importância de, ao se formular uma equação, definirmos qual o conjunto universo, ou seja, qual o conjunto em que vamos procurar as soluções. Quando o conjunto universo não é dado, subentende-se que se deva procurar soluções no conjunto dos números reais.
Uma equação que seja equivalente a outra escrita na forma

a x + b y = c

em que $a, \,b, \,c\,$ são constantes é uma equação de reta, justamente porque o conjunto de todas as suas soluções reais é representado por uma reta no plano cartesiano.
Uma equação com três incógnitas tem o conjunto solução representado no espaço tridimensional. Por exemplo, as soluções da equação

x + 2 y + 3 z = 6

são triplas de números que podem ser vistos como coordenadas de pontos do espaço. Fixado um sistema cartesianos tridimensional, as soluções dessa equação determinam o plano que passa pelos pontos de coordenadas

(6,0,0),(0,3,0),(0,0,2)

.
Equações com mais de uma variável começaram a ser estudadas sistematicamente a partir das ideias de Descartes e deram início ao que hoje chamamos de Geometria analítica. A Geometria analítica tanto ajuda a resolver problemas algébricos por meio da Geometria, como a resolver problemas geométricos por meio da Álgebra.

Tipos de equações

As equações com uma incógnita mais simples são as chamadas equações lineares. São as equações equivalentes a

a x + b = 0

em que as letras

a

b

representam números fixados (as constantes). O número

a

é chamado coeficiente de

x

. Equações lineares têm exatamente uma solução real.
Equações quadráticas são as equações que podem ser colocadas na forma

a x 2 + b x + c = 0

por operações elementares. Essas equações podem ter até duas soluções reais distintas.
Equações do terceiro grau, também chamadas equações cúbicas são as equações que podem ser colocadas na forma

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0

. Tais equações possuem até três soluções reais distintas.
Mais geralmente, equações polinomiais de grau n são as equações da forma

$a_nx^n + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$

O Teorema fundamental da álgebra garante que as equações polinomiais de grau n com coeficientes reais têm no máximo n raízes reais distintas.
Equações algébricas são as que são escritas apenas usando-se adição, multiplicação divisão, raízes ou potências de expressões polinomiais. São exemplos de equações algébricas as seguintes:

$\frac{x+4}{x-2} = x^2$
$(x + 3) 4 = 1$

Há muitos outros tipos de equações. Um tipo bastante estudado no ensino médio são as equações trigonométricas, que são equações em que pelo menos em um dos lados da igualdade aparece uma função trigonométrica. Por exemplo,

2cos x = 1

é uma equação trigonométrica que tem infinitas soluções reais.
Em geral, se $f(x)\,$ é uma função real podemos considerar a equação $f(x)=0\,$ . Suas soluções são os zeros de $f\,$ . Geometricamente, os zeros de uma função são as abscissas dos pontos em que o gráfico de $f\,$ cruza o eixo dos x.

Equações mais gerais

Até aqui vimos exemplos de equações em que a(s) incógnita(s) era(m) número(s) (inteiro, racional, real, complexo). Mas há equações em que a incógnita pode ser outro objeto matematico, por exemplo, uma função. Por exemplo:

Determinar as possíveis funções contínuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,$ tais que:

$\forall x\forall y,f(x+y)=f(x)+f(y)\,$

Determinar as possíveis funções contínuas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,$ tais que:

$f(f(x))=e^x\,$

Equações diferenciais possuem uma função como uma incógnita e pelo menos uma das expressões da equação envolve a derivada de ordem 1 ou maior desta função:

$f'(x)=f(x)\,$

Analogamente, equações integrais possuem como incógnita uma função e pelo menos um dos lados da igualdade envolve integrais:

$\int_{0}^{t}f(s)ds = 2f(t)-1\,$

Sistemas de equações são duas ou mais expressões que devem ser resolvidas simultaneamente:

$\begin{cases} x - y = 7 \\ x y = 30 \end{cases}$

As soluções dos sistemas de equações são interpretados geometricamente como sendo os pontos de interseção dos entes geométricos determinados por cada equação. No exemplo dado, as soluções do sistema são os pontos de interseção da reta

x - y = 7

com a hipérbole

x y = 30

, a saber, os pontos P e Q de coordenadas

(10,3)

( - 3, - 10)

, respectivamente.

Ver também

Resolução de equações
Equação polinomial
Equação quadrática
Equação biquadrática
Equação quasi simétrica
Equação diferencial
Inequações
Lista de equações

Referências

↑ Equação. Michaelis. Editora Melhoramentos Ltda.. Página visitada em 2011-01-22.

explicar:

sábado, 12 de fevereiro de 2011

solidos geometricos

ola meninos!!!!!

ja ouviram falar dos solidos geometricos???

e sabem o que e?
em que sao contituidos?
quantos tipos ha?
querem querem que eu explique?

se responderem eu digo

beijoes

para todos

:) ;)

sábado, 8 de janeiro de 2011

o que e um multiplo?e um numero natural?

ola meninos!!!!!!!

como ja sabem os meus alunos sao muito curiosos!!!!!!

e fazem cada pergunta que nem eu sei responder mas confesso que sou como os meus alunos (curiosa)e quando nao sei responder pesquiso e resgisto em resumos o que estudei.como diz um velho ditado"pequeno ou novo e sempre estudioso".

Número primo

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo^[1].
Nos inteiros, $p \in \mathbb{Z}$ é um primo se ele tem exatamente quatro divisores: $\pm 1$ e $\pm p$ . Uma definição um pouco mais técnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. Por definição,

0

1

- 1

não são números primos.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Os 100 primeiros números primos positivos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541
Exemplos de decomposições:

$4 = 2 \times 2$
$6 = 2 \times 3$
$8 = 2 \times 2 \times 2$
$9 = 3 \times 3$
$10 = 2 \times 5$
$472.342.734.872.390.487 = 3 \times 7 \times 827 \times 978.491 \times 27.795.571$

[editar] Os átomos da aritmética

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.
Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número

N

era primo: calcule

2

elevado a potência

N

e divida-o por

N

, se o resto for

2

, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular

2 N

em um relógio com

N

horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até

340

, mas falha para $341 = 11 \times 31$ . Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como

2341

[editar] Teoremas dos números primos

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas.

[editar] Matemática elementar

Alguns resultados que podem ser demonstrados com ferramentas elementares (para ver as demonstrações, consulte Vianna^[1]):

Se um número primo divide um produto, mas não divide um dos fatores, então ele divide o outro fator
Se um número primo divide a potência de outro número, então ele divide este número
Se um número é múltiplo, então ele tem pelo menos um fator primo

[editar] Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural $n$ , qual é a proporção de números primos entre os números menores que $n$ ?

A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam $p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n$ os primos. Seja

P

o número tal que

P

= $\prod_{i=1}^n p_i + 1,$ onde $\prod$ denota o produtório.

P

é um número primo, é necessariamente diferente dos primos $p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n$ , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.

Por outro lado, se

P

é composto, existe um número primo

q

tal que

q

é divisor de

P

Mas obviamente $q \ne\ p_1,\; p_2,\; ...,\; p_n.$ Logo existe um novo número primo.

Há um novo número primo, seja

P

primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.

Uma outra prova envolve considerar um número inteiro

n > 1

. Temos

n + 1

que, necessariamente, é coprimo de

n

(números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto

n

e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim,

n (n + 1)

tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.

Tomemos o sucessor deste, que representamos como

n (n + 1) + 1

. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a

n (n + 1)

. Ao multiplicar os dois números, temos

[n (n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]

. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente $\frac{n}{\ln (n)}$ , onde $ln$ é o logaritmo natural.

Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.

O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!

Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a $\sqrt{k}$ .

Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

[editar] Grupos e sequências de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma

4 n + 1

, tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

5 = 1 2 + 2 2,

13 = 2 2 + 3 2,

17 = 1 2 + 4 2,

29 = 2 2 + 5 2,

37 = 1 2 + 6 2,

41 = 4 2 + 5 2 .

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

$(4 n + 1)$ - que podem sempre ser escritos na forma ( $x 2 + y 2$ );
e $(4 n - 1)$ - nunca podem ser escritos na forma ( $x 2 + y 2$ ).

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de cento e onze^[2] números compostos e não existem^[3] primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões^{[carece de fontes?]} de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos^{[carece de fontes?]}. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo

x 2 - x + 41

fornece primos quando $x=0,\ 1,\ 2,\ ..., \ 40$ ^[4]^[5]. Veja que para x = 41, a fórmula resulta em

412

que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de

x

, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em

x

com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de

x

.
Não se sabe se há uma expressão polinomial

a x 2 + b c + c

com $a \ne 0$ que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se

a

2 b

c

não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

a x 2 + 2 b x y + c y 2

representa infinitos primos, quando

x

y

assumem valores positivos inteiros.
Fermat pensou que a fórmula $2^{2^n} + 1$ forneceria números primos para $n = 0,\ 1,\ 2,\ ...$ . Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por

F n

. Os cinco primeiros números são:

$F_0 = 3,\; F_1 = 5,\; F_2 = 17,\; F_3 = 257\; e \;F_4 = 65.537$ ,

sendo todos primos.

[editar] Maior número primo conhecido

Atualmente o maior número primo encontrado é

2 43.112.609 - 1

descoberto no dia 23 de agosto de 2008, num projeto de computação distribuída pela Internet, o GIMPS, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo

2 p - 1

, em que

p

é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.

[editar] Aproximações para o n-ésimo primo

Como consequência do teorema do número primo , uma expressão assintótica para o n-ésimo primo p_n é:

p n ˜ n ln n .

Uma aproximação melhor é:

${ p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac{n}{\ln n} \left(\ln \ln n - 2 \right) - \frac{n\ln\ln n}{2(\ln n)^2}\left(\ln\ln n-6\right) + O\left( \frac {n} {(\ln n)^2}\right).}$ ^[6]

O teorema de Rosser mostra que p_n é maior que n ln n. É possível melhorar esta aproximação com os limites ^[7]^[8]:

$n \ln n + n(\ln\ln n - 1) < p_n < n \ln n + n \ln \ln n \quad\mbox{for } n \ge 6.$

[editar] Ver também

Ora, todo número diferente de zero possui infinitos múltiplos, pois basta multiplicá-lo por qualquer número natural.

Múltiplos de 2 = 0 (2 x 0), 2 (2 x 1), 4 (2 x 2), 6 (2 x 3)...100 (2 x 50)

- Como posso ter certeza que só o 15 que é múltiplo de 5?

Uma forma de saber se um número é múltiplo de outro é fazer a divisão entre eles. Se o resto for zero, então é múltiplo. Assim:

a) 4 é múltiplo de 2 porque 4 ÷ 2 = 2 e o resto = 0.
b) 72 é múltiplo de 3 porque 72 ÷ 3 = 24 e o resto = 0.
c) 200 é múltiplo de 4 porque 200 ÷ 4 = 50 e o resto = 0.
d) 125 é múltiplo de 5 porque 125 ÷ 5 = 25 e o resto = 0.